Nguyên Hàm Khó: \[I=\int \sqrt{tanx}dx\]

Đề bài: Tính (tìm) nguyên hàm: \[I=\int \sqrt{tanx}dx\]

\[I=\int \sqrt{tanx}dx\]

Giải:

Cách 1:

Đổi biến: \[t=\sqrt{tanx}\Rightarrow t^{2}=tanx\Rightarrow dx=\frac{2tdt}{t^{4}+1}\]

Khi đó nguyên hàm trở thành: \[I=\int \frac{2t^{2}dt}{t^{4}+1}=\int \frac{t^{2}+1}{t^{4}+1}dt+\int \frac{t^{2}-1}{t^{4}+1}dt\]

Đặt: \[\left\{\begin{matrix} H=\int \frac{t^{2}+1}{t^{4}+1}dt& \\ K=\int \frac{t^{2}-1}{t^{4}+1}dt& \end{matrix}\right. \Rightarrow I=H+K\]

\[H=\int \frac{t^{2}+1}{t^{4}+1}dt=\int \frac{1+\frac{1}{t^{2}}}{t^{2}+\frac{1}{t^{2}}}dt=\int \frac{1+\frac{1}{t^{2}}}{\left ( t-\frac{1}t{} \right )^{2}+2}dt\]

Đổi biến \[u=t-\frac{1}{t}\Rightarrow du=1+\frac{1}{t^{2}}dt \Rightarrow H=\int \frac{du}{u^{2}+2}\]

Đổi biến \[u=\sqrt{2}tanv\Rightarrow du=\sqrt{2}(1+tan^{2}v)dv\Rightarrow H=\int\frac{1}{\sqrt{2}}dv=\frac{1}{\sqrt{2}}v+C_{1}\]

\[=\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \frac{u}{\sqrt{2}} \right )+C_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \frac{t^{2}-1}{t\sqrt{2}} \right )+C_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \frac{tanx-1}{\sqrt{2tanx}} \right )+C_{1}\]

\[K=\int \frac{t^{2}-1}{t^{4}+1}dt=\int\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{t^{2}+\frac{1}{t^{2}}}dt=\int\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{\left ( 1+\frac{1}{t} \right )^{2}-2}dt\]

Đổi biến \[u_{1}=t+\frac{1}{t}\Rightarrow du_{1}=\left ( 1-\frac{1}{t^{2}} \right )dt \Rightarrow \int \frac{du_{1}}{u_{1}-2}\]

\[=\int \frac{du_{1}}{2\sqrt{2}\left ( u_{1}-\sqrt{2} \right )}-\int \frac{du_1}{2\sqrt{2}\left ( u_{1}+\sqrt{2} \right )}=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( \frac{u_{1}-\sqrt{2}}{u_{1}+\sqrt{2}} \right )+C_{2}\]

\[=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( \frac{t^{2}-\sqrt{2}t+1}{t^{2}+\sqrt{2}t+1} \right )+C_{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( \frac{tanx-\sqrt{2tanx}+1}{tanx+\sqrt{2tanx}t+1} \right )+C_{2}\]

Vậy \[I=H+K=\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \frac{tanx-1}{\sqrt{2tanx}} \right )+\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( \frac{tanx-\sqrt{2tanx}+1}{tanx+\sqrt{2tanx}t+1} \right )+C\]

Trong đó \[C=C_{1}+C_{2}\]

Cách 2:

Đổi biến: \[u=\sqrt{tanx}\Rightarrow t^{2}=tanx\Rightarrow dx=\frac{2udt}{u^{4}+1}\]

Khi đó nguyên hàm trở thành: \[I=\int \frac{2u^{2}dt}{u^{4}+1}\]
\[=\int \frac{2u^{2}}{\left ( u^{2}+1 \right )^{2}-2u^{2}}=\int \frac{2u^{2}}{\left ( u^{2}-\sqrt{2}u+1 \right )\left ( u^{2}+\sqrt{2}u+1 \right )}\]

\[=\frac{1}{\sqrt{2}} \left (\int \frac{udu}{\left (u^{2}-\sqrt{2}u+1 \right )}-\int \frac{udu}{\left (u^{2}+\sqrt{2}u+1 \right )} \right )\]

Đặt: \[\left\{\begin{matrix} H=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{udu}{u^{2}-\sqrt{2}u+1} & \\ K=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{udu}{u^{2}+\sqrt{2}u+1}& \end{matrix}\right.\]

\[H=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{udu}{u^{2}-\sqrt{2}u+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{\left (2u-\sqrt{2} \right )du}{u^{2}-\sqrt{2}u+1}+\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2}-\sqrt{2}u+1}\]

\[=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( u^{2}-\sqrt{2}u+1 \right )+\frac{1}{2}\int \frac{du}{\left ( u-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{2}+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( u^{2}-\sqrt{2}u+1 \right )+\frac{1}{2}M\]

Đặt \[t=u-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow dt=du\Rightarrow M=\int \frac{dt}{t^2+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}arctan\left ( \sqrt{2}t \right )+C_{1}\]

\[\Rightarrow H=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( u^{2}-\sqrt{2}u+1 \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \sqrt{2}t \right )\]

\[=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( u^{2}-\sqrt{2}u+1 \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \sqrt{2}u+1 \right )+C_{1}\]

\[K=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{udu}{u^{2}+\sqrt{2}u+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{\left ( 2u+\sqrt{2} \right )du}{u^{2}+\sqrt{2}u+1}-\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{2}du}{u^{2}+\sqrt{2}u+1}\]

\[=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( u^{2}+\sqrt{2}u+1 \right )-\frac{1}{2}\int \frac{du}{\left ( u+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( u^{2}+\sqrt{2}u+1 \right )-\frac{1}{2}N\]

Đặt: \[v=u+\frac{1}{2}\Rightarrow dv=du\Rightarrow N=\int \frac{dv}{v^{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}arctan\left ( \sqrt{2}v \right )+C_{2}\]

\[\Rightarrow K=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( u^{2}+\sqrt{2}u+1 \right )-\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \sqrt{2}u+1 \right )+C_{2}\]

Vậy \[I=H- K=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( u^{2}-\sqrt{2}u+1 \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \sqrt{2}u+1 \right )\\ -\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( u^{2}+\sqrt{2}u+1 \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \sqrt{2}u+1 \right )+C\]

\[=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( tanx-\sqrt{2tanx}+1 \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \sqrt{2tanx}+1 \right )\\ -\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left ( tanx+\sqrt{2tanx}+1 \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\left ( \sqrt{2tanx}+1 \right )+C\]

trong đó \[C=C_{1}+C_{2}\]

Nhận xét: tuy hai đáp án trên ta nhìn thấy khác nhau nhưng thực chất đó là một nhé. tùy vào mỗi người có cách biến đổi khác nhau nên sẽ ra đáp án khác nhau. tuy nhiên đáp án hai ta biến đổi một tý nữa sẽ ra giống đáp án cách 1. nhưng ta chỉ cần làm đến đó là được rồi. hy xọng sẽ có thêm cách mới nữa.