Học Tập Gắn Liền Cuộc Sống: Giải Đáp Bài Hệ Phương trình \[\left\{\begin{matrix} 2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y& & \\ y=2x^2-1+2xy\sqrt{1+x}& & \end{matrix}\right.\]

Học Tập Gắn Liền Cuộc Sống

Học tập luôn gắn liền với cuộc sống. Con người sinh ra và lớn lên luôn luôn trải qua quá trình học tập để trở thành người tài. Tuy nhiên yếu tố quyết định đó lại là từ cuộc sống. Những kinh nghiệm cuộc sống giúp bạn trải nghiệm được những tình huống từ đơn giản tới khó khăn. Bạn giải quyết tình huống tốt sẽ tạo cho bạn những kinh nghiệm mới trong cuộc sống. Muốn trở thành người tài giỏi bạn phải kết hợp cả hai: CUỘC SỐNG và HỌC TẬP.

Solve the system of equations $\left\{\begin{matrix} 2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y& & \\ y=2x^2-1+2xy\sqrt{1+x}& & \end{matrix}\right.$

Solve

Condition: $\left\{\begin{matrix} 1-x\geq 0 \\ 1+x\geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow -1\leq x\leqslant 1$

Equation (1) equivalent with $2y^3+y=2\sqrt{(1-x)^3}+\sqrt{1-x}$
We have characteristic function: $f(t)=2t^3+t; t\geq 0$
$\Rightarrow f'(t)=6t^2+1>0 , \forall t\geq 0$
Therefore $f(y)=f(\sqrt{1-x})\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}$
We replaced $f(y)=f(\sqrt{1-x})\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}$ to come in equation (2): $\sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}$
Because $-1\leq x\leq 1$ so place a $x=cost; t\in[0;\pi]$
Then the equation becomes $\sqrt{1-cost}=2cos^2t-1+2cost\sqrt{1-cos^2t}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}sin\left (\frac{t}{2} \right )=cos2t+sin2t$
$\Leftrightarrow sin\left (2t+\frac{\pi}{4} \right )=sin\left ( \frac{t}{2} \right )$
$\Leftrightarrow$ $\left\[ \begin{matrix} 2t+\frac{\pi}{4}=\frac{t}{2}+k2\pi\\ 2t+\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{t}{2}+k2\pi \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\[ \begin{matrix} t=\frac{-\pi}{6}+\frac{k4\pi}{3}\\ t=\frac{3\pi}{10}+\frac{k4\pi}{5} \end{matrix}\right.$
Because $t \in[0;\pi]$ should $t=\frac{3\pi}{10}$
Therefore $x=cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right ); y=\sqrt{1-cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )}$