Bài giảng Đại số tuyến tính Lý thuyết và Bài tập Nguyễn Hữu Việt Hưng
Lời nói đầu
Theo dòng lịch sử, môn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính. Về sau, để có thể hiểu thấu đáo cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian véctơ và ánh xạ tuyến tính. Người ta cũng có nhu cầu khảo sát các không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, trong đó có thể đo độ dài của véctơ và góc giữa hai véctơ. Xa hơn, hướng nghiên cứu này dẫn tới bài toán phân loại các dạng toàn phương, và tổng quát hơn phân loại các tenxơ, dưới tác động của một nhóm cấu trúc nào đó.
nhau, từ Giải tích tới Hình học vi phân và Lý thuyết biểu diễn nhóm, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật... Vì thế, nó đã trở thành một môn học cơ sở cho việc đào tạo các giáo viên trung học, các chuyên gia bậc đại học và trên đại học thuộc các chuyên ngành khoa học cơ bản và công nghệ trong tất cả các trường đại học.
Đã có hàng trăm cuốn sách về Đại số tuyến tính được xuất bản trên toàn thế giới. Chúng tôi nhận thấy có hai khuynh hướng chủ yếu trong việc trình bày môn học này. Khuynh hướng thứ nhất bắt đầu với các khái niệm ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính, rồi đi tới các khái niệm trừu tượng hơn như không gian véctơ và ánh xạ tuyến tính. Khuynh hướng này dễ tiếp thu. Nhưng nó không cho phép trình bày lý thuyết về định thức và hệ phương trình tuyến tính bằng một ngôn ngữ cô đọng và đẹp đẽ. Khuynh hướng thứ hai trình bày các khái niệm không gian véctơ và ánh xạ tuyến tính trước, rồi áp dụng vào khảo sát định thức và hệ phương trình tuyến tính. Ưu điểm của phương pháp này là đề cao vẻ đẹp trong tính nhất quán về cấu trúc của các đối tượng được khảo sát. Nhược điểm của nó là khi xét tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, thật ra người ta đã phải đối mặt với việc giải hệ phương trình tuyến tính. Cách trình bày nào cũng có cái lý của nó. Theo kinh nghiệm của chúng tôi thì nên chọn cách trình bày thứ hai cho các sinh viên có khả năng tư duy trừu tượng tốt hơn và có mục đích hướng tới một mặt bằng kiến thức cao hơn về toán.
Cuốn sách này được chúng tôi biên soạn nhằm mục đích làm giáo trình và sách tham khảo cho sinh viên, sinh viên cao học và nghiên cứu sinh các ngành khoa học tự nhiên và công nghệ của các trường đại học khoa học tự nhiên, đại học sư phạm và đại học kỹ thuật. Cuốn sách được viết trên cơ sở các bài giảng về Đại số tuyến tính của tôi trong nhiều năm cho sinh viên một số khoa của trường Đại học Tổng hợp (nay là Đại học khoa học Tự nhiên) Hà Nội và của một số trường đại học sư phạm. Đặc biệt, tôi đã giảng giáo trình này trong 3 năm học 1997 - 1998, 1998 - 1999, 1999 - 2000 cho sinh viên các ngành Toán, Cơ, Lý, Hoá, Sinh, Địa chất, Khí tượng thuỷ văn... của Chương trình đào tạo Cử nhân khoa học tài năng, Đại học khoa học Tự nhiên Hà Nội.
Chúng tôi chọn khuynh hướng thứ hai trong hai khuynh hướng trình bày đã nói ở trên. Tất nhiên, với đôi chút thay đổi, cuốn sách này có thể dùng để giảng Đại số tuyến tính theo khuynh hướng trình bày thứ nhất. Tư tưởng cấu trúc được chúng tôi nhấn mạnh như một mạch của cuốn sách. Mỗi đối tượng đều được nghiên cứu trong mối tương quan với nhóm các phép biến đổi bảo toàn cấu trúc của đối tượng đó: Khảo sát không gian véctơ gắn liền với nhóm tuyến tính tổng quát GL(n,K), không gian véctơ Euclid và không gian véctơ Euclid định hướng gắn liền với nhóm trực giao O(n) và nhóm trực giao đặc biệt SO(n), không gian Unita gắn liền với nhóm unita U(n)... Kết quả phân loại các dạng toàn phương phụ thuộc căn bản vào việc quá trình phân loại được tiến hành dưới tác động của nhóm nào (tuyến tính tổng quát, trực giao...).
Theo kinh nghiệm, chúng tôi không thể giảng hết nội dung của cuốn sách này trong một giáo trình tiêu chuẩn về Đại số tuyến tính cho sinh viên các trường đại học, ngay cả đối với sinh viên chuyên ngành toán. Các chủ đề về dạng chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu, dạng chính tắc của tự đồng cấu trực giao, việc đưa đồng thời hai dạng toàn phương về dạng chính tắc, đại số tenxơ, đại số đối xứng và đại số ngoài... nên dùng để giảng chi tiết cho các sinh viên cao học và nghiên cứu sinh các ngành Toán, Cơ học và Vật lý.
Chúng tôi cố gắng bình luận ý nghĩa của các khái niệm và ưu khuyết điểm của các phương pháp được trình bày. Cuối mỗi chương đều có phần bài tập, được tuyển chọn chủ yếu từ cuốn sách nổi tiếng ``Bài tập Đại số tuyến tính'' của I. V. Proskuryakov. Để nắm vững kiến thức, độc giả nên đọc rất kỹ phần lý thuyết trước khi làm càng nhiều càng tốt các bài tập cuối mỗi chương. Việc sử dụng cuốn sách này sẽ đặc biệt thuận lợi nếu người đọc coi nó là phần một của một bộ sách mà phần hai của nó là cuốn Đại số đại cương của cùng tác giả, do Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội ấn hành năm 1998 và tái bản năm 1999.
Tác giả chân thành cảm ơn Ban điều hành Chương trình đào tạo Cử nhân khoa học tài năng, Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội, đặc biệt là Giáo sư Đàm Trung Đồn và Giáo sư Nguyễn Duy Tiến, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả giảng dạy cho sinh viên của Chương trình trong ba năm qua và viết cuốn sách này trên cơ sở những bài giảng đó.
Tác giả mong nhận được sự chỉ giáo của các độc giả và đồng nghiệp về những thiếu sót khó tránh khỏi của cuốn sách.
Hà Nội, 12/1999
Mở đầu sẽ là kiến thức chuẩn bị: Các lý thuyết về tập hợp, các quan hệ, nhóm vành trường
Chương 1: Không gian véc tơ
Chương 2: Ma trận và ánh xạ tuyến tính
Chương 3: Định thức và hệ phương trình tuyến tính
Chương 4: Cấu trúc của tự đồng cấu
Chương 5: Không gian véc tơ Ơclit
Chương 6: Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương
Chương 7: Đại số đa tuyến tính
No comments:
Post a Comment
chào bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại ý kiến nhận xét của bạn đều rất quan trọng. tôi rất vui nếu bạn viết tiếng Việt có dấu hoặc viết bằng tiếng Anh.