Đề bài: Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn : \[a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4\] CMR : a + b + c ≤ 3.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: chứng minh bằng lượng giác:
Xét Trong tam giác A,B,C ta có:
cos^2A + cos^2B + cos^2C = 1/2(cos(A) + cos(B)) +1 +cos^2C
=cos(A+B).cos(A-B) + cos^2C +1
= - cosC .cos(A-B) + cos^2C +1
= - cosC(cos(A-B) – cos C ) +1
= - cosC(Cos(A-B) – cos (A+B) ) +1
= -2cosC.cosA.cosB +1
=> cos^2A + cos^2B + cos^2C= -2cosC.cosA.cosB +1
Đặt a = 2cosA ; b =2cos B ; c = 2cos C
Ta có: cos^2A + cos^2B + cos^2C + 2cosC.cosA.cosB =1
=> cos^2A + cos^2B + cos^2C= -2cosC.cosA.cosB +1
=> A,B,C là 3 góc của 1 tam giác
Ta cần chứng minh cosA + cosB + Cos C ≤ 3/2
ta có:
cosX + cos Y = 2cos[(X+Y)/2].cos [(X-y)/2] ≤2 cos [(X+Y)/2]
đặt (A+B+C)/3 = S
ta có: cosA + cosB + Cos C + cos S ≤ 2 cos [(A+B)/2] + 2cos[(C + S)/2]
= 2.(cos (3A+3B)/6 + cos (A+B+4C)/6 ) ≤ 4.cos[(4A+4B+4C)/12] = 4.cosS
=> cosA + cosB + Cos C + cos S ≤ 4.cosS
=> cosA + cosB + Cos C ≤ 3cos S = 3.cos(180/3) = 3.cos 60 = 3/2
Cách 2: dùng tc pt bậc 2
a² + b² + c² + abc = 4 <==> a² + bc*a + ( b² +c² -4) = 0
Đây là pt bậc hai với a. ∆a = (bc)² - 4( b² + c² -4) = ( 4 -b²) ( 4 - c²)
Áp dụng BDT 2xy ≤ x² + y² thì ta có : √∆a = √[ ( 4 -b²) ( 4 - c²)] ≤ 1/2( 4 -
b² + 4 -c²) = 1/2( 8 - b² - c²)
Suy ra a = 1/2( -bc + √∆a) ( loại 1/2( -bc -√∆a) do a ≥ 0)
==> a + b + c = b + c + 1/2 ( -bc + √[ ( 4 -b²) ( 4 - c²)] ) ≤ b + c -1/2bc
+ 1/4( 8 -b² -c²)
= -1/4( b+c)² + b + c -1 + 3 = 3 -1/4( b + c -2)² ≤ 3
đẳng thức xảy ra khi b + c = 2; b = c và a + b + c = 3 <==> a = b = c = 1
Bài toán đã được giải quyết xong
Cách 3:
CM: VT = ( a + b -c)( b + c -a)( c + a -b) ≤ abc với a, b, c ≥ 0, thật vậy
giả sử a≥ b ≥c ==> a + b -c ≥ 0 và c + a -b ≥ 0
nếu b + c -a < 0 ==> VT ≤ 0 ≤ abc
nếu b+c -a ≥ 0 thì áp dụng BDT √(xy) ≤ 1/2( x +y) suy ra
VT = √[( a + b -c)( b + c -a)] *√[( b + c -a)( c + a -b)]*√[( a + b -c) ( c + a -
b)]≤ abc
đặt a + b + c = A==> abc≥ ( A -2a)(A-2b)(A-2c) = A³ -2A²(a + b +c)
+4A(ab+bc+ca) -8abc
==> 4A(ab + bc +ca) ≤ A³ + 9abc = A³ + 9( 4 -a² -b²-c²)
==> A³ + 36 ≥ 9( a²+b²+c²) +4A(ab+bc+ac) = 9( a²+b²+c²) +2A( A² -a²
-b²-c²)
= 2A³ + ( 9-2A)( a²+b²+c²) . Do A²≤ 3(a²+b²+c²)
≤3*4=12==>A<4==>9-2A>0
==> 36≥ A³ +(9-2A)(a²+b²+c²)≥A³ +1/3(9-2A)A²==> A³ +9A²- 108 ≤ 0
==> (A-3)( A²+A+3)≤0 ==> A ≤ 3 ( DPCM)
No comments:
Post a Comment
chào bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại ý kiến nhận xét của bạn đều rất quan trọng. tôi rất vui nếu bạn viết tiếng Việt có dấu hoặc viết bằng tiếng Anh.