Đề bài: Tính tích phân sau: \[I=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-x^2}{\left ( 1+x^2 \right )\sqrt{1+x^4}}dx\]
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Đối với dạng tính tích phân là dạng phân thức mà tử số có 1-x^2 hoặc 1+x^2 thì ta nghĩ ngay đến dạng chia cả tử và mẫu cho x^2. Tại sao lại như vậy. ta để ý rằng nếu đặt bằng 1 trong hai cái sau thì khi đạo hàm sẽ ra được cái đó:\[t=x+\frac{1}{x}\Rightarrow dt=\left (1-\frac{1}{x^2} \right )dx; t=x-\frac{1}{x}\Rightarrow dt=\left (1+\frac{1}{x^2} \right )dx\]
Do đó ta có lời giải sau:
\[Do \ x \in\left [ \frac{1}{2};2 \right ]\Rightarrow x\sqrt{A}=\sqrt{Ax^2}\]
Khi đó: \[I=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-x^2}{\left ( 1+x^2 \right )\sqrt{1+x^4}}dx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{\frac{1}{x^2}-1}{\left ( x+\frac{1}{x} \right )\sqrt{\frac{1}{x^2}+x^2}}dx\]
\[=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{\frac{1}{x^2}-1}{\left ( x+\frac{1}{x} \right )\sqrt{\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2-2}}dx\]
\[=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{\frac{1}{x^2}-1}{\left ( x+\frac{1}{x} \right )\sqrt{\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2-2}}dx\]
Đổi biến: \[t=x+\frac{1}{x}\Rightarrow dt=\left ( 1-\frac{1}{x^2} \right )dx\]
Đổi cận: \[x=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{5}{2}; x=2\Rightarrow t=\frac{5}{2}\]
Khi đó \[I=-\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}}\frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}}=0\]
No comments:
Post a Comment
chào bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại ý kiến nhận xét của bạn đều rất quan trọng. tôi rất vui nếu bạn viết tiếng Việt có dấu hoặc viết bằng tiếng Anh.