Đề bài: Tính tích phân sau: \[\int_{1}^{2}\frac{x^2-1}{\left ( x^2-x+1 \right )\left ( x^2+3x+1 \right )}dx\]
Hướng dẫn giải:
\[I=\int_{1}^{2}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left ( x+\frac{1}{x}-1 \right )\left ( x+\frac{1}{x}+3 \right )}dx\]
Đổi biến: \[t=x+\frac{1}{x}\Rightarrow dt=\left (1-\frac{1}{x^2} \right )dt\]
Đổi cận: \[x=1\Rightarrow t=2; x=2\Rightarrow t=\frac{5}{2}\]
Khi đó, ta có:
\[I=\int_{2}^{\frac{5}{2}}\frac{dt}{\left ( t-1 \right )\left ( t+3 \right )}=\frac{1}{4}\int_{2}^{\frac{5}{2}}\left (\frac{1}{t-1} -\frac{1}{t+3} \right )dt\]
\[=\frac{1}{4}\ln\left |\frac{t-1}{t+3} \right |_{2}^{\frac{5}{2}}=\frac{1}{4}\ln\left ( \frac{15}{11} \right )\]
Vậy \[I=\frac{1}{4}\ln\left ( \frac{15}{11} \right )\]
No comments:
Post a Comment
chào bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại ý kiến nhận xét của bạn đều rất quan trọng. tôi rất vui nếu bạn viết tiếng Việt có dấu hoặc viết bằng tiếng Anh.