giải đáp Đại số tuyến tính - toán cao cấp

1.     Tính định thức của ma trận sau:

Giải

Đối với bài này ta rất khó có thể đưa về ma trận tam giác hoặc khai triển theo dòng hoặc theo cột. Ở đây ta có thể dùng phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức. Bởi vì các định thức mới này thường bằng 0 hoắc tính dễ dàng.

Trước hết ta viết định thức dưới dạng:

Lần lượt tách các cột của định thức , sau 5 lần tách ta có định thức A bằng tổng của 2⁵ định thức thức cấp 5. Cột thứ i của định thức này chính là cột loại (1) hoặc loại (2) của cột thứ i của định thức ban đầu A. Chia 2⁵ định thức này thành các dạng”

Dạng 1: bao gồm các định thức có từ 2 cột loại (2) trở lên. Vì các cột loại (2) bằng nhau nên tất cả các định thức này đều bằng 0.

Dạng 2: bao gồm các định thức có đúng một cột loại (2), còn các cột khác là loại (1).

Giả sử cột i là loại (2).  Ta có định thức đó là:

(khai triển định thức theo cột i)

Có tất cả 5 định thức dạng 2 (ứng với i=1,2,3,4,5 )  và tổng các định thức dạng 2 là

Dạng 3: bao gồm các định thức không có cột loại (2) nên tất cả các cột đều là loại (1). Và do đó có đúng một định thức dang 3 là:

Vậy 

Tổng quát nên định thức cấp n: (giải tương tự như trên xét 3 dạng)

2.     Cho A, B là các ma trận vuông cấp  n. Ma trận B khả nghịch sao cho B(A²B-B²)=0. Chứng minh rằng ma trận A khả nghịch.

Giải

Vì ma trận B khả nghịch nên . Theo giải thiết ta có:

Vậy ma trận A khả nghịch