Đề bài: Tính \[I=\int\limits_{\pi }^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}\]
Đặt \[f\left( x \right)={{\cos }^{2}}x+3\operatorname{cosx}+2=\left( \operatorname{cosx}+1 \right)\left( \operatorname{cosx}+2 \right)\]
\[g\left( x \right)=\frac{1}{f\left( x \right)}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}\]
v Sử dụng kiến thức cấp 3:
· \[f\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
· Với \[x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{2} \right)=2\]
· Với \[x=\pi \Rightarrow f\left( \pi \right)=0\]
Do đó hàm g(x) không liên tục tại \[x=\pi \]
Vậy tích phân không tồn tại
v Sử dụng kiến thức đại học
\[I=\int\limits_{\pi }^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}=\underset{u\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}\]
Đặt \[J=\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}\]
Khi đó ta tính tích phân J trước rồi tính giới hạn ta được tích phân I
Tính \[J=\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}\]
\[J=\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}=\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\left( \cos x+1 \right)\left( \operatorname{cosx}+2 \right)}}\]
\[=\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\operatorname{cosx}+1}}-\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\operatorname{cosx}+2}}\]
Đặt \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{H = \int\limits_u^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 1}}} }\\
{K = \int\limits_u^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 2}}} }
\end{array}} \right. \Rightarrow J = H - K\]
{H = \int\limits_u^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 1}}} }\\
{K = \int\limits_u^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 2}}} }
\end{array}} \right. \Rightarrow J = H - K\]
Nhắc lại kiến thức công thức nhân đôi
Ø \[\sin 2x=2sinxcosx\]
Ø \[\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{2}}x-1=1-2{{\sin }^{2}}x\]
Ø \[\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{{\tan }^{2}}x}\]
Vậy ta áp dụng công thức nhân đôi cho hàm cosx
\[H=\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\operatorname{cosx}+1}}=\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}}\]
\[=\left. \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right|_{u}^{\frac{\pi }{2}}=1-\tan \left( \frac{u}{2} \right)\]
\[K=\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\operatorname{cosx}+2}}=\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1}=}\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}dx}{2+\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}}=}\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( {{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1 \right)dx}{3+{{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}}\]
Đặt \[t=\tan \left( \frac{x}{2} \right)\Rightarrow dt=\frac{1}{2}\left( {{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1 \right)dx\Rightarrow \left( {{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1 \right)dx=2dt\]
Đổi cận:
· Với \[x=u\Rightarrow t=\tan \left( \frac{u}{2} \right)\]
· Với \[x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\tan \left( \frac{\pi }{4} \right)=1\]
Do đó \[K=\int\limits_{\tan \left( \frac{u}{2} \right)}^{1}{\frac{2dt}{3+{{t}^{2}}}}\]
Đặt \[t=\sqrt{3}\tan \left( v \right)\Rightarrow dt=\sqrt{3}\left( {{\tan }^{2}}\left( v \right)+1 \right)dv\]
Đổi cận:
· Với \[t=\tan \left( \frac{u}{2} \right)\Rightarrow v=\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)\]
· Với \[t=1\Rightarrow v=\frac{\pi }{6}\]
Khi đó \[K=\int\limits_{\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{2\sqrt{3}\left( {{\tan }^{2}}v+1 \right)dv}{3+{{\left( \sqrt{3}\tan v \right)}^{2}}}=\int\limits_{\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}dv}\]
\[=\left. \frac{2}{\sqrt{3}}v \right|_{\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)\]
\[=\left. \frac{2}{\sqrt{3}}v \right|_{\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)\]
Vậy\[J=H-K=1-\tan \left( \frac{u}{2} \right)-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)\]
\[=1-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)-\tan \left( \frac{u}{2} \right)\]
\[=1-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)-\tan \left( \frac{u}{2} \right)\]
Tính giới hạn
\[\underset{u\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{u}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}\]
\[=\underset{u\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)-\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)\]
\[=\underset{u\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)-\tan \left( \frac{u}{2} \right) \right)\]
ð Không tồn tại vì \[\underset{u\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\tan \left( \frac{u}{2} \right)\] không hội tụ về mô điểm hữu hạn.
Nhận xét: ngoài cách dùng công thức nhân đôi ta có thể dùng cách đặt \[t=\tan \left( \frac{x}{2} \right)\]. Tuy nhiên ta phải chứng minh mới đc áp dụng vì kiến thức phổ thông không có dạy. vì thế bài trên tôi không giải theo cách đó.
Tương tự đối với khoảng (a;b) ngoài \[\left( \pi ;\frac{\pi }{2} \right)\] ta đều làm tương tự như trên. Nếu không liên tục thì tùy theo kiến thức bạn học tới đâu để kết luận như trên nhé. Đối với kiến thức ĐH thì cấp 3 không giải đc nhưng ĐH lại giải đc. Bài trên là TH như vậy. Nếu lấy trong khoảng khách thì KT cấp 3 kết luận không tồn tại nhưng KT ĐH lại có tồn tại kiến thức. Tùy theo tích phân đó có hội tụ hay không? Nếu tích phân hội tụ thì tồn tại tích phân ngược lại thì không tồn tại. Bạn đã hã ĐH rồi thì những bài như thế này thì không đc dùng kiến thức cấp 3.
Đề bài: Tính \[I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}\]
Nhắc lại kiến thức công thức nhân đôi
\[K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\operatorname{cosx}+2}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1}=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}dx}{2+\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}}=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( {{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1 \right)dx}{3+{{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}}\]
Đề bài: Tính \[I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}\]
Ta có:
\[J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi
}{2}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x+3\cos x+2}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi
}{2}}{\frac{dx}{\left( \cos x+1 \right)\left( \operatorname{cosx}+2 \right)}}\]
\[=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\operatorname{cosx}+1}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\operatorname{cosx}+2}}\]
Đặt \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{H = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 1}}} }\\
{K = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 2}}} }
\end{array}} \right. \Rightarrow I = H - K\]
{H = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 1}}} }\\
{K = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 2}}} }
\end{array}} \right. \Rightarrow I = H - K\]
Nhắc lại kiến thức công thức nhân đôi
Ø \[\sin 2x=2sinxcosx\]
Ø \[\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{2}}x-1=1-2{{\sin }^{2}}x\]
Ø \[\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{{\tan }^{2}}x}\]
Vậy ta áp dụng công thức nhân đôi cho hàm cosx
\[H=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\operatorname{cosx}+1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}}\]
\[=\left. \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=1\]
\[K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{\operatorname{cosx}+2}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1}=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}dx}{2+\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}}=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( {{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1 \right)dx}{3+{{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)}}\]
Đặt \[t=\tan \left( \frac{x}{2} \right)\Rightarrow dt=\frac{1}{2}\left( {{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1 \right)dx\Rightarrow \left( {{\tan }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)+1 \right)dx=2dt\]
Đổi cận:
· Với \[x=0\Rightarrow t=0\]
· Với \[x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\tan \left( \frac{\pi }{4} \right)=1\]
Do đó
Đặt \[t=\sqrt{3}\tan \left( v \right)\Rightarrow dt=\sqrt{3}\left( {{\tan }^{2}}\left( v \right)+1 \right)dv\]
Đổi cận:
· Với
· Với \[t=1\Rightarrow v=\frac{\pi }{6}\]
Khi đó \[K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{2\sqrt{3}\left( {{\tan }^{2}}v+1 \right)dv}{3+{{\left( \sqrt{3}\tan v \right)}^{2}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}dv}\]
\[=\left. \frac{2}{\sqrt{3}}v \right|_{0}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\]
\[=\left. \frac{2}{\sqrt{3}}v \right|_{0}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\]
Vậy\[J=H-K=1-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\]
Kết Luận Vậy đối với bài này mà cận khác đi ta đều làm như thế này. tùy theo mỗi cận ta tính toán cho đúng. ai muốn làm theo cách đặt t=tan(x/2) thì phải chứng minh ra công thức rồi mới đc áp dụng. chúc những ai đọc xong bài này đều học tốt
Kết Luận Vậy đối với bài này mà cận khác đi ta đều làm như thế này. tùy theo mỗi cận ta tính toán cho đúng. ai muốn làm theo cách đặt t=tan(x/2) thì phải chứng minh ra công thức rồi mới đc áp dụng. chúc những ai đọc xong bài này đều học tốt
No comments:
Post a Comment
chào bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại ý kiến nhận xét của bạn đều rất quan trọng. tôi rất vui nếu bạn viết tiếng Việt có dấu hoặc viết bằng tiếng Anh.