Đề kiểm
tra toán 3 Đề 5
Câu 1 ( 2 điểm)
Tìm cực trị \[z={{x}^{3}}+{{y}^{3}}-5xy\]
Hướng dẫn giải:
Đầu tiên ta xét hệ:
\[\left\{\begin{matrix} z_{x}^{'}=0 & \\ z_{y}^{'}=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x^{2}-5y=0 & \\ 3y^{2}-5x=0& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )+5\left ( x-y \right )=0 & \\ 3y^{2}-5x=0 & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x-y \right)\left( 3x+3y+5 \right)=0 \\ 3{{y}^{2}}-5x=0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x=y \\ 3{{y}^{2}}-5x=0 \\ \end{matrix}\,\left( 1 \right) \right. \\ \left\{ \begin{matrix} 3x+3y+5=0 \\ 3{{y}^{2}}-5x=0 \\ \end{matrix}\,\left( 2 \right) \right. \\ \end{matrix} \right. \right.\]
Giải hệ 1 ta được: \[\left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=0 \\ \end{matrix}\vee \left\{ \begin{matrix} x=\frac{5}{3} \\ y=\frac{5}{3} \\ \end{matrix} \right. \right.\]
Giải hệ 2 ta được: Hệ 2 vô nghiệm.
Vậy ta có hai điểm dừng: (0;0) và \[\left(
\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right)\].
Tiếp theo ta tính các đạo hàm riêng cấp 2:
\[z_{xx}^{''}=6x;z_{yy}^{''}=6y;z_{xy}^{''}=-5\].
Với điểm dừng
(0;0).
Ta có \[z_{xx}^{''}\left( 0;0 \right)=0;z_{yy}^{''}\left(
0;0 \right)=0;z_{xy}^{''}\left( 0;0 \right)=-5\]
\[{{d}^{2}}f\left( h;k \right)=z_{xx}^{''}\left( 0;0
\right){{h}^{2}}+2z_{xy}^{''}\left( 0;0 \right)hk+z_{yy}^{''}\left( 0;0
\right){{k}^{2}}=-10hk\]
v
Với \[{{d}^{2}}f\left(
1;1 \right)=-10<0\]
v
Với \[{{d}^{2}}f\left(
-1;1 \right)=10>0\]
Do đó \[{{d}^{2}}f\left( h;k \right)\]không xác định dấu.
vậy z không đạt cực trị tại (0;0).
Với điểm dừng
\[\left( \frac{5}{3};\frac{5}{3} \right)\]
Ta có: \[z_{xx}^{''}\left( \frac{5}{3};\frac{5}{3}
\right)=10;\,\,\,z_{yy}^{''}\left( \frac{5}{3};\frac{5}{3}
\right)=10;\,\,z_{xy}^{''}\left( \frac{5}{3};\frac{5}{3} \right)=-5\]
\[{{d}^{2}}f\left( h;k \right)=z_{xx}^{''}\left(
\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right){{h}^{2}}+2z_{xy}^{''}\left(
\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right)hk+z_{yy}^{''}\left( \frac{5}{3};\frac{5}{3}
\right){{k}^{2}}=10{{h}^{2}}-10hk+10{{k}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow {{d}^{2}}f\left( h;k \right)=10\left(
{{h}^{2}}-hk \right)+10{{k}^{2}}=10{{\left( h-\frac{1}{2}k
\right)}^{2}}+\frac{39}{4}{{k}^{2}}>0\,\,\forall \left( h;k \right)\ne
\left( 0;0 \right)\]
Vậy z đạt cực tiểu tại \[\left( \frac{5}{3};\frac{5}{3}
\right)\]
Câu 2 ( 2,5 điểm)
Tính
\[I=\iint\limits_{D}{x\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}dxdy};\] \[D:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 9\].
Hướng dẫn giải:
Nhân dạng bà này là dùng phương pháp đổi biến trong tọa độ
cực. Như thế thì ta biết đặt ẩn phụ như thế nào rồi.
Đổi biến \[\left\{ \begin{matrix} x=r\cos \varphi \\ y=r\sin \varphi \\ \end{matrix}\Rightarrow \left| J \right|=r \right.\]
Dễ thấy
Thế x,y vào phương trình \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9\] ta được
r=3. Do đó \[0\le r\le 3\]
Vậy miền D trong tọa độ cực là:\[D:\left\{\begin{matrix} 0\leq \varphi \leq 2{\pi} & \\ 0\leq r\leq 3 & \end{matrix}\right.\]
\[I=\iint\limits_{D}{x\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}dxdy}=\int\limits_{0}^{2{\pi}}{d\varphi \int\limits_{0}^{3}{r\cos \varphi \sqrt{{{\left( r\cos \varphi \right)}^{2}}+{{\left( r\sin \varphi \right)}^{2}}}.rdr}}\]
\[=\int\limits_{0}^{2{\pi}}{\cos \varphi d\varphi \int\limits_{0}^{3}{{{r}^{3}}dr}=}0\]
Câu 3 ( 2,5 điểm) Tính
\[I=\oint\limits_{L}{(3xy+{{x}^{5}}\sin
{{x}^{3}}+5y)dx+(2x+\sqrt[4]{y})dy}\]
L là biên của miền D giới hạn bởi : \[y=4{{x}^{2}};y=8-4x\]
Hướng dẫn giải:
Đầu tiên ta tìm tọa độ giao điểm của hai đường y=4x2
và y=8-4x.
A(-2;16), B(1;4).
Đối với bài này ta có hai cách giải là tính trực tiếp hoặc
dùng công thức green. Nhưng ở đây tôi dùng
công thức green.
Các hàm \[P\left( x;y
\right)=3xy+{{x}^{5}}\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}^{3}}+5y\]
\[Q\left( x;y \right)=2x+\sqrt[4]{y}\]
Đạo hàm riêng:
\[P_{y}^{'}=3x+5\]
\[Q_{x}^{'}=2\]
Miền D giới hạn như hình vẽ.
D đóng, trơn từng đoạn, hướng dương và có các đạo hàm riêng
liên tục trên D.
Theo công thức green ta có:
\[I=\oint\limits_{L}{Pdx+Qdy=\iint\limits_{D}{\left(
Q_{x}^{'}-P_{y}^{'} \right)dxdy}}=\iint\limits_{D}{\left( -3x-3 \right)dxdy}\]
Giới hạn miền \[D:\left\{ \begin{matrix} -2\le x\le 1 \\ 4{{x}^{2}}\le y\le 8-4x \\ \end{matrix} \right.\]
Khi đó \[I=\int\limits_{-2}^{1}{dx}\int\limits_{4{{x}^{2}}}^{8-4x}{\left(
-3x-3 \right)dy}=-27\]
Câu 4(3điểm)Tìm
nghiệm của phương trình sau${y}'-y={{e}^{\frac{x}{2}}}\sqrt{y}$ thỏa ${{\left.
y \right|}_{x=0}}=\frac{9}{4}$
No comments:
Post a Comment
chào bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại ý kiến nhận xét của bạn đều rất quan trọng. tôi rất vui nếu bạn viết tiếng Việt có dấu hoặc viết bằng tiếng Anh.