Hướng dẫn giải:
Đổi biến: \[x=tant\Rightarrow dx=(tan^2t+1)dt\]
Đổi cận: \[x=0\Rightarrow t=0, x=1\Rightarrow t=\frac{\pi}{4}\]
Khi đó \[I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left ( tan^2t+1 \right )\sqrt{tan^2t+1}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cos^3t}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cost}{(1-sin^2t)^2}dt\]
Đổi biến \[u=sint\Rightarrow du=costdt\]
Đổi cận: \[t=0\Rightarrow u=0, t=\frac{\pi}{4}\Rightarrow u=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Khi đó \[I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{\left ( 1-u^2 \right )^2}=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{dt}{\left (\left ( 1-u \right ) \left ( 1+u \right ) \right )^2}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left (\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1} \right )^2dt\]
\[=\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left (\frac{1}{\left (u-1 \right )^2} +\frac{1}{\left ( u+1 \right )^2}+\frac{1}{u+1}-\frac{1}{u-1} \right )dt\]
\[=\frac{1}{4}\left. \left( \frac{1}{1-u}-\frac{1}{1+u}+\ln \left| 1+u \right|-\ln \left| u-1 \right| \right) \right|_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]
\[=\left. \frac{1}{4}\left( \frac{1}{1-u}-\frac{1}{1+u}+\ln \left| \frac{u+1}{u-1} \right| \right) \right|_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}+\ln \left( 1+\sqrt{2} \right)}{2}\]
Nhận xét: Đây là một bài khó, phải làm từng bước thì mới có thể nhận thấy được dạng cơ bản. bài này nhìn vào là biết đăt x=tant ( vì thuộc dạng x^2+a^2)
No comments:
Post a Comment
chào bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại ý kiến nhận xét của bạn đều rất quan trọng. tôi rất vui nếu bạn viết tiếng Việt có dấu hoặc viết bằng tiếng Anh.