Đề bài: Tính tích phân sau: \[I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+sin^2x}{1+sin2x}dx\]
Hướng dẫn giải:
\[I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+sin^2x}{1+sin2x}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x+1-cos2x}{1+sin2x}dx\]
Đặt \[t=\frac{\pi}{2}-x\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}-t\Rightarrow dx=-dt\]
Đổi cận: \[x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2},x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\]
Khi đó \[I=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{2(\frac{\pi}{2}-t)+1+cos(2(\frac{\pi}{2}-t))}{1+sin(2(\frac{\pi}{2}-t))}(-dx)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\pi-2t+1-cos2t}{1+sin2t}dx\]
\[\Rightarrow 2I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\pi +2-2cos2x}{1+sin2x}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\pi+2-cos2x}{1+sin2x}dx\]
\[= \frac{1}{2}(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\pi+2)dx}{1+sin2x}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos2xdx}{1+sin2x})=\frac{1}{2}(H-K)\]
Trong đó \[\left\{\begin{matrix} H=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\pi+2)dx}{1+sin2x} \\ K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos2xdx}{1+sin2x} \end{matrix}\right.\]
Tính H:
\[H=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\pi+2)dx}{1+sin2x}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\pi+2)dx}{2cos^2(x-\frac{\pi}{4})}=\left.\begin{matrix} \frac{1}{2}(\pi+2)tan(x-\frac{\pi}{4}) \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\pi+2\]
Tính K:
\[K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos2xdx}{1+sin2x}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(1+sin2x)}{1+sin2x}=\left.\begin{matrix} ln\left | 1+sin2x \right | \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=0\]
Vậy \[I=\frac{\pi+2}{4}\]
No comments:
Post a Comment
chào bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại ý kiến nhận xét của bạn đều rất quan trọng. tôi rất vui nếu bạn viết tiếng Việt có dấu hoặc viết bằng tiếng Anh.