Đề bài: Trong Oxy, cho tam giác ABC có H(2;1) là trực tâm, I(1;0) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm M là trung điểm BC và M thuộc d: x-2y-1=0. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E(6; -1). Tìm tọa độ B, C, biết rằng M có tung độ dương.
Hướng dẫn giải:
Chứng minh bài toán phụ:
Vì M là trung điểm BC nên \[\mathit{IM}\perp \mathit{BC}\]
(tính chất đường kính đi qua trung điểm của dây cung)
Kẻ đường kính AD.
Ta có:
\[\mathit{BH}\perp \mathit{AC}\]
(H là trực tâm tâm giác ABC)
\[\mathit{DC}\perp \mathit{AC}\]
(góc nội tiếp chắn đường kính AD)
Do đó: BH//DC (1)
Tương tự ta chứng minh được BD//CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.
\[\Rightarrow M\in HD, HM=MD\]
Xét tam giác ADH có AI=ID, HM=MD
Do đó IM là đường trung bình tam giác ADH
\[\Rightarrow AH//=2IM\Rightarrow \overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}\]
Gọi H' là giao điểm của AH với đường tròn tâm I
Ta có
\[\widehat{CBH}=\widehat{CAH'}\]
(cùng phụ với góc ACB)
\[\widehat{CBH'}=\widehat{CAH'}\]
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH')
Do đó \[\widehat{CBH}=\widehat{CBH'}\]
mà \[BC\perp HH'\Rightarrow \triangle BHH' can tai B\]
Suy ra BC là đường trung trực của HH'.
Xét phép đối xứng trục BC:
\[H'\rightarrow H, B\rightarrow B,C\rightarrow C\]
Do đó \[\triangle H'BC\rightarrow \triangle HBC\]
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác H'BC có tâm I bán kính R
(C') là đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC.
Khi đó phép đối xứng trục biến đường tròn (C) thành (C'), tâm I thành tâm I' có cùng bán kính R.
BC là đường trung trực của II', M là trung điểm II'.
Vào bài toán:
Phương trình AH//IM qua điểm H(2;1) có dạng x-2-2(y-1)=0 hay x-2y=0.
Ta có \[I\in d\Rightarrow IM\equiv d\]
hay phương trình IM: x-2y-1=0.
\[A \in AH\Rightarrow A(2a;a),\ M \in IM\Rightarrow M(2m+1;m)\]
\[\overrightarrow{AH}=(2-2a;1-a),\ \overrightarrow{IM}=(2m;m)\]
\[\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2-2a=4m\\ 1-a=2m \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 1-a=2m\Leftrightarrow a=1-2m\]
Khi đó A(2-4m;1-2m).
Vì M là trung điểm II' nên I'(4m+1;2m).
Ta có phương trình: \[IA^2=JE^2 \\ \Leftrightarrow (1-4m)^2+(1-2m)^2=(5-4m)^2+(-1-2m)^2 \\ \Leftrightarrow m=1\]
Thế m vào tìm được tọa độ M(3;1), A(-2;-1).
Khi đó phương trình BC qua M(3;1) và vuông góc với IM có dạng: 2(x-3)+(y-1)=0 hay 2x+y-7=0.
\[B \in BC \Rightarrow B(b;7-2b)\]
Ta có phương trình: \[IB^2=IA^2 \\ \Leftrightarrow (b-1)^2+(7-2b)^2=10 \\ \Leftrightarrow 5b^2-30b+40=0 \\ \Leftrightarrow b=4 \ \vee b=2\]
\[b=2 \Rightarrow B(2;3) \Rightarrow C(4;-1)\\ b=4 \Rightarrow B(4;-1)\Rightarrow C(2;3)\]
Vậy có 2 điểm B, C thỏa mãn như trên.
No comments:
Post a Comment
chào bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại ý kiến nhận xét của bạn đều rất quan trọng. tôi rất vui nếu bạn viết tiếng Việt có dấu hoặc viết bằng tiếng Anh.