Giải Bài Tập Tích Phân: \[I=\int_{1}^{2}\frac{ln\left ( xe^{x} \right )}{\left ( x+2 \right )^{2}}dx\]

Đề Bài: tính tích phân sau:

\[I=\int_{1}^{2}\frac{ln\left ( xe^{x} \right )}{\left ( x+2 \right )^{2}}dx\]

Lời giải:

Ngay từ đầu nhìn vào bài tích phân này là ta biết ngay đó là từng phần vì nó có tích các hàm khác nhau.

Nếu trong bài tích phân có các hàm khác nhau như vậy thì ta ưu tiên: "nhất lốc, nhì đa, tam lượng và tứ mũ."

Nhất lốc: nhất logarit

Nhì đa: nhì đa thức
Tam lượng: thứ 3 sẽ là lượng giác
Tứ mũ: thứ 4 sẽ là hàm số mũ

Nên bài trên chúng ta sẽ dùng tích phân từng phần 

Áp dụng vào bài toán

\[\left\{ \begin{matrix} u=\ln \left( x{{e}^{x}} \right) \\ dv=\frac{dx}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du=\frac{\left( x+1 \right)dx}{x} \\ v=\frac{-1}{x+2} \\ \end{matrix} \right.\]

 Khi đó tích phân trở thành:

\[I=\left. \frac{-\ln \left( x{{e}^{x}} \right)}{x+2} \right|_{1}^{2}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{\left( x+1 \right)}{x\left( x+2 \right)}dx=}\frac{1}{3}-\frac{\ln \left( 2{{e}^{2}} \right)}{4}+J\]

Với: \[J=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\left( x+1 \right)}{x\left( x+2 \right)}dx}\]

\[J=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\left( x+1 \right)}{x\left( x+2 \right)}dx}=\frac{1}{2}\left (\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{x+2}}+ \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{x}} \right )\]

\[=\left. \frac{1}{2}\left( \ln \left( x+2 \right)+\ln \left( x \right) \right) \right|_{1}^{2}=\left. \frac{1}{2}\ln \left( x\left( x+2 \right) \right) \right|_{1}^{2}=\frac{\ln \left( \frac{8}{3} \right)}{2}\]

Vậy: 

\[T=\frac{1}{3}+\frac{\ln \left( \frac{8}{3} \right)}{2}-\frac{\ln \left( 2{{e}^{2}} \right)}{4}=\frac{ln\left ( \frac{32}{9} \right )}{4}-\frac{1}{6}\]

Cách 2:
\[ln(xe^x)=x+ln(x)\]

Khi đó: \[I=\int_{1}^{2}\frac{x+lnx}{(x+2)^2}dx=\int_{1}^{2}\frac{xdx}{(x+2)}+ \int_{1}^{2}\frac{lnxdx}{(x+2)^2}=H+K\]

Trong đó: \[\left\{\begin{matrix} H=\int_{1}^{2}\frac{xdx}{(x+2)} \\ K=\int_{1}^{2}\frac{lnxdx}{(x+2)^2} \end{matrix}\right.\]

Đến đây đơn giản rồi.

Chúc bạn thành công trong phần này