Giải đáp bài tập toán: Giải hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} 2x+\sqrt{x+2}=\left ( y+1 \right )^2+\sqrt{2y+2}\\ (x-y-1)(x+y+1) = 2y^2 -2 \end{matrix}\right.\]

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:


Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
Phương trình (2) tương đương với: (3)
Khi đó điều kiện để có phương trình (3) là:
Lấy (3) cộng với phương trình 1 ta được:
Xét chứng minh hệ vô nghiệm.
Xét
Xét hàm số: với

Khi đó ta được x+1=2y+1 hay x=2y.
Thế vào phương trình (2) ta được:

Vậy hệ có nghiệp duy nhất như trên
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

Điều kiện:
Khi đó phương trình (2) tương đương với (3)
Lấy phương trình (3) cộng với phương trình (1) ta được:

Xét hàm số:

(bạn tự xét t để f'(t)>0.
do đó ta đc x+1=y/ thế vào pt (2) ta được:
Hệ có nghiệm duy nhất như trên

Nhận xét: đây là hai bài áp dụng phương pháp khảo sát hàm số để giải hệ phương trình. Ở đây tôi nói sơ sơ về phương pháp này:
I. Đặt vấn đề
Từ nhiều năm trở lại đây việc sử dụng khảo sát sự biến thiên của hàm số để giải và biện luận một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình tạo nên sự phong phú về thể loại và phương pháp giải toán, phù hợp với các kỳ thi tuyển sinh đại học. Ñeå giuùp hoïc sinh bieát söû duïng söï bieán thieân cuûa haøm soá ñeå giaûi vaø bieän luaän moät soá phöông trình, baát phöông trình vaø heä phöông trình, toâi ñaõ toång keát laïi moät soá daïng toaùn vaø phöông phaùp giaûi nhö sau.

II. Một số lưu ý chung:

Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:
1) phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m
2) Xét bất phương trình f(x) m với f(x) liên tục trên [a; b] .
Khi đó: m = minf(x) f(x) maxf(x) = M
*) f(x) m có nghiệm thuộc [a; b] m maxf(x)
*) f(x) m vô nghiệm thuộc [a; b] m > maxf(x)
*) f(x) m có nghiệm [a; b] m minf(x)
III. TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:
Xét phương trình với D là một khoảng cho trước.
Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi (tương ứng với 3 dạng thông dụng) sau đây:
1. Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết:
Dạng 1: Dạng F(x)=o, với F(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên D
Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng:
Bước 2: Xét hàm số y=F(x)
Chỉ rõ hàm số y=F(x) đồng biến hay nghịch biến trên D.
Bước 3: Đoán được . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất .
Dạng 2: F(x) đồng biến và G(x) nghịch biến trên D ( hoặc ngược lại)
Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng : F(x)=G(x) (1)
Bước 2: Xét hai hàm số y=F(x) và y=G(x)
Chỉ rõ hàm số y=F(x) là hàm đồng biến (nghịch biến) và y=G(x) là hàm nghịch biến (đồng biến)
Bước 3: Đoán được F(x0)=G(x0) . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất .
Dạng 3: dạng phượng trình F(u)=F(v) với F(t) hoặc đồng biến hoặc nghịch biến. lúc đó phương trình có nghiệm u=v

Bước 1: Đưa phương trình về dạng F(u)=F(v) (1)
Bước 2: Xét hàm số: y=F(t).
Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên (a;b) .
Bước 3: Khi đó: F(u)=F(v) <=> u=v