Giải tích toán học Tập 1 - Lê Văn Trực

Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ, Hàm liên tục, Điểm gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô cùng bé, vô cùng lớn, hàm số hợp, hàm số ngược, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital, tích phân không xác định, tích phân, nguyên hàm, Phép thế Euler, Điều kiện khả tích, Hàm khả tích, Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục

Chương 1 Tập hợp và số thực ............................................................................. 7

1.1 Khái niệm về tập hợp ..................................................................................... 7

1.2 Số thực............................................................................................................ 9

1.3 Ánh xạ ......................................................................................................... 14

1.4 Bài tập chương 1 ......................................................................................... 16

Chương 2 Giới hạn của dãy số và hàm số.......................................................... 19

2.1 Giới hạn của dãy số..................................................................................... 19

2.1.1 Định nghĩa dãy số...................................................................................... 19

2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ...................................................................... 21

2.1.3 Giới hạn vô hạn ........................................................................................ 24

2.2 Tiêu chuẩn hội tụ.......................................................................................... 25

2.2.1 Các định lý ................................................................................................ 25

2.2.2 Số e............................................................................................................ 26

2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại ............... 27

2.2.4 Sự hội tụ của dãy bị chặn ......................................................................... 28

2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số ....................................... 29

2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới .................................................................. 30

2.3 Khái niệm về hàm số một biến số ............................................................... 32

2.3.1 Định nghĩa................................................................................................. 32

2.3.2 Đồ thị của hàm số...................................................................................... 32

2.3.3 Hàm số hợp ............................................................................................... 34

2.3.4 Hàm số ngược ........................................................................................... 34

2.3.5 Các hàm lượng giác ngược........................................................................ 36

2.3.6 Các hàm số hypebol .................................................................................. 38

2.3.7 Các hàm hypebol ngược............................................................................ 39

2.4 Giới hạn của hàm số..................................................................................... 41

2.4.1 Lân cận của một điểm ............................................................................... 41

2.4.2 Các định nghĩa giới hạn............................................................................. 42

2.4.3 Giới hạn một phía...................................................................................... 45

2.4.4 Giới hạn vô cùng ...................................................................................... 46

2.4.5 Các tính chất của giới hạn ........................................................................ 47

2.4.6 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số..................................................... 47

2.4.7 Vô cùng bé. Vô cùng lớn........................................................................... 48

2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ............................................................................... 51

2.5 Bài tập chương 2 .......................................................................................... 54

Chương 3 Hàm liên tục một biến số .................................................................. 61

3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm ......................................... 61

3.1.1 Các định nghĩa.......................................................................................... 61

3.1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín.............. 62

3.1.3 Các định lý về những phép tính trên các hàm liên tục ............................. 63

3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số ...................................................................... 65

3.2 Các tính chất của hàm liên tục ..................................................................... 68

3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm .............................................. 68

3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn ..................................... 68

3.3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược ........................ 72

3.3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu........................................................ 72

3.3.2 Tính liên tục của hàm ngược.................................................................... 73

3.4 Khái niệm liên tục đều ............................................................................... 74

3.4.1 Mở đầu ..................................................................................................... 74

3.4.2 Định nghĩa................................................................................................. 74

3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấp ................................................................ 76

3.5 Bài tập chương 3 .......................................................................................... 77

Chương 4 Phép tính vi phân của hàm một biến................................................. 81

4.1 Đạo hàm và cách tính................................................................................... 81

4.1.1 Định nghĩa đạo hàm .................................................................................. 81

4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số ........................................................ 81

4.2 Các qui tắc tính đạo hàm.............................................................................. 82

4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm........................................................................... 82

4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp ......................................................................... 82

4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược ..................................................................... 84

4.2.4 Đạo hàm theo tham số............................................................................... 85

4.2.5 Đạo hàm một phía .................................................................................... 85

4.2.6 Đạo hàm vô cùng....................................................................................... 87

4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp ...................................................................... 87

4.3 Vi phân của hàm số ..................................................................................... 88

4.3.1 Định nghĩa................................................................................................ 88

4.3.2 Các qui tắc tính vi phân........................................................................... 89

4.3.3 Vi phân của hàm số hợp........................................................................... 89

4.3.4 Ứng dụng của vi phân ............................................................................. 90

4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi .............................................................. 90

4.4.1 Cực trị địa phương.................................................................................... 90

4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao......................................................................... 96

4.5.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao .................................................................... 96

4.5.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n ...................................... 97

4.5.3 Vi phân cấp cao......................................................................................... 97

4.6 Công thức Taylor ........................................................................................ 98

4.6.1 Công thức Taylor ..................................................................................... 99

4.6.2 Khai triển Maclaurin .............................................................................. 101

4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định...................................................... 103

4.7.1 Dạng vô định .......................................................................................... 103

4.7.2 Dạng vô dịnh .......................................................................................... 105

4.8 Khảo sát hàm số ......................................................................................... 108

4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện ........................ 108

4.8.2 Đường cong cho dưới dạng tham số ...................................................... 110

4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực.................................................... 114

4.9 Bài tập chương 4 ........................................................................................ 117

Chương 5 Tích phân không xác định .............................................................. 123

5.1 Tích phân không xác định ......................................................................... 123

5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm ......................................................................... 123

5.1.2 Các tính chất........................................................................................... 123

5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định..................................................... 123

5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định............................................ 123

5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản...................................................................... 124

5.2 Cách tính tích phân không xác định........................................................... 125

5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản......................................................... 125

5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến........................................................... 126

5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần.................................................... 127

5.2.4 Công thức truy hồi.................................................................................. 129

5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ ................................................................. 130

5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất ........................................ 130

5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ........................................................ 132

5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol.......... 134

5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác........................................ 134

5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol............................................ 136

5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ ................................................................ 137

5.5.1 Tích phân dạng

5.5.2 Tích phân dạng

5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân ............................................................... 138

5.6 Tích phân các biểu thức dạng 2 R( , ) x ax bx c + + với a ≠ 0 .................. 139

5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất .......................................................................... 140

5.6.2 Phép thế Euler thứ hai ............................................................................ 140

5.6.3 Phép thế Euler thứ ba ............................................................................. 141

5.6.4 Tích phân eliptic...................................................................................... 142

5.7 Bài tập chương 5 ....................................................................................... 143

Chương 6 Tích phân xác định.......................................................................... 145

6.1 Định nghĩa tích phân xác định................................................................... 145

6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong.......................................................... 145

6.1.2 Bài toán tính khối lượng.......................................................................... 146

6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định................................................................ 146

6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định ............................................... 148

6.2 Điều kiện khả tích .................................................................................... 148

6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích .............................................................. 148

6.2.2 Các tổng Darboux................................................................................... 149

6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux ............................................. 150

6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định ................................................. 151

6.3 Các lớp hàm khả tích.................................................................................. 152

6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân................................................... ......... 154

6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định....................................................... 154

6.4.2 Các định lí giá trị trung bình .................................................................. 158

6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định ........................................................... 159

6.5.1 Các định nghĩa........................................................................................ 160

6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên.............................................. 160

6.6 Tính tích phân xác định............................................................................. 162

6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định.................................................. 162

6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần ................................................................ 164

6.6.3 Tính gần đúng tích phân xác định ......................................................... 168

6.7 Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định......................... 172

6.7.1 Tính diện tích hình phẳng....................................................................... 172

6.7.2 Tính độ dài đường cong phẳng............................................................... 177

6.7.3 Tính thể tích vật thể................................................................................ 180

6.7.4 Diện tích mặt tròn xoay.......................................................................... 183

6.8 Tích phân suy rộng.................................................................................... 186

6.8.1 Tích phân suy rộng loại 1....................................................................... 186

6.8.2 Tích phân suy rộng loại 2....................................................................... 195

6.8.3 Thay biến số trong tích phân suy rộng .................................................. 199

6.9 Bài tập chương 6 ....................................................................................... 200

Chương 7 Hàm số liên tục trong n \ ............................................................... 206

7.1 Tập hợp trong n \ ...................................................................................... 206

7.1.1 Khoảng cách trong n \ ........................................................................... 206

7.1.2 Lân cận của một điểm ........................................................................... 207

7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp......................................... 208

7.1.4 Tập mở, tập đóng................................................................................... 210

7.1.5 Tập liên thông........................................................................................ 210

7.2 Sự hội tụ trong n \ , các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số....... 211

7.2.1 Sự hội tụ trong n \ ................................................................................. 211

7.2.2 Dãy cơ bản............................................................................................ 212

7.2.3 Nguyên lí Canto ................................................................................... 213

7.2.4 Chú ý ................................................................................................... 213

7.2.5 Tập hợp compact.................................................................................. 214

7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số.............................................................. 214

7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số ................................................... 214

7.2.8 Đường mức và mặt mức...................................................................... 215

7.3 Giới hạn của hàm số trong n \ ................................................................ 216

7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm....................................................... 216

7.3.2 Giới hạn lặp......................................................................................... 217

7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp ....... 218

7.3.1 Chú ý ................................................................................................... 219

7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục ................................................................ 221

7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm .............................................................. 221

7.4.2 Hàm số liên tục đều............................................................................. 222

7.4.3 Liên tục theo từng biến........................................................................ 223

7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số .......................................... 224

7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một....................................................... 224

7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao................................................................ 230

7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn.......................................................................... 233

7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số .................................................. 233

7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số................................................... 235

7.7 Đạo hàm theo hướng .............................................................................. 237

7.7.1 Đạo hàm theo hướng ........................................................................... 237

7.7.2 Gradien................................................................................................. 238

7.8 Công thức Taylor. Cực trị của hàm số nhiều biến số............................... 239

7.8.1 Công thức Taylor ................................................................................. 239

7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số.............................................................. 241

7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac ....... 244

7.9 Cực trị có điều kiện ............................................................................... 245

7.9.1 Định nghĩa:.......................................................................................... 245

7.9.2 Phương pháp tìm cực trị...................................................................... 245

7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học.................................. 250

7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong ............................................................... 250

7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong...................................................... 251

7.10.3 Độ cong ............................................................................................. 253

7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong ...................................................... 255

7.11 Bài tập chương 7 ................................................................................... 258

7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số ......................................................... 262

Tài liệu tham khảo......................................................................................... 302


Tải Về