Giải đáp bài tập toán (Hệ phương trình vòng hoán vị tròn)

Giải hệ pt sau:

         x3−3x=y

         y3−3y=z

         z3−3z=x

Từ phương trình,thế y;z ta sẽ có :

[(x3−3x)3−3(x3−3x)]3−3[(x3−3x)3−3(x3−3x)]=x

Phương trình này sẽ có tối đa là 27 nghiệm.

Xét x∈[−2;2],ta đặt x=2cost(t∈[0;π]).Khi đó ta có :

⎧⎩⎨⎪⎪(1)⇔y=2cos3t(2)⇔z=2cos9t(3)⇔x=2cos27t⇔cost=cos27t⇔[t=kπ13t=lπ14]

Với t=kπ13 và t∈[0;π] ta tìm được k∈{0;..13}

Với t=lπ14 và t∈[0;π] ta tìm được l∈{0;..14}

Do nghiệm t=0 và t=π trùng nhau nên ta có tất cả 27 nghiệm.Do vậy ta không cần xét các trường hợp khác nữa.

Vậy (x;y;z)∈{2coskπ13;2cosk3π13;2cosk9π13};k=1,13¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Hoặc

(x;y;z)∈{2coslπ14;2cosl3π14;2cosl9π14};l=1,14¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯