Học Tập Gắn Liền Cuộc Sống: Giải đáp bài tập môn toán ( Bất đẳng thức)

Học Tập Gắn Liền Cuộc Sống

Học tập luôn gắn liền với cuộc sống. Con người sinh ra và lớn lên luôn luôn trải qua quá trình học tập để trở thành người tài. Tuy nhiên yếu tố quyết định đó lại là từ cuộc sống. Những kinh nghiệm cuộc sống giúp bạn trải nghiệm được những tình huống từ đơn giản tới khó khăn. Bạn giải quyết tình huống tốt sẽ tạo cho bạn những kinh nghiệm mới trong cuộc sống. Muốn trở thành người tài giỏi bạn phải kết hợp cả hai: CUỘC SỐNG và HỌC TẬP.

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(x² + y²) + xy = (x + y)(xy + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=4\left ( \frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{x^3} \right )-9\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\Leftrightarrow 2\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+1=\left (x+y \right )\left (1+\frac{2}{xy} \right )$
$\Leftrightarrow 2\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+1=x+y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}$
$\Leftrightarrow 2\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+1\geq 2\sqrt{2\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2 \right )}$
Đặt $t=\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right ); \ t\geq 2$
khi đó ta có:
$2t+1\geq 2\sqrt{2\left (t+2 \right )}$
$\Leftrightarrow \left (2t+1 \right )^2\geq 8\left (t+2 \right )$
$\Leftrightarrow 4t^2-4t-15\geq 0$ <=> $t\geq \frac{5}{2}$
Mặt khác: $P=4\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )^3-9\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )^2-12\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+18$
$\Rightarrow P=f(t)=4t^3-9t^2-12t+18$
xét hàm số: $f(t)=4t^3-9t^2-12t+18; \ t\geq \frac{5}{2}$
$f'(t)=12t^2-18t-12=12\left [\left ( t-\frac{3}{4} \right )^2-\frac{25}{16} \right ]\geq 18> 0 ; \forall t\geq 5/2.$
Do đó

đồng biến $\forall t\geq 5/2.$
$\Rightarrow P\geq f\left ( \frac{5}{2} \right )=-\frac{23}{4}$

Vậy
$minP=-\frac{23}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2}; a + b =2\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right ) \\ \Leftrightarrow (a;b)=(1;2) \vee (a;b)=(2;1)$