Giải đáp bất đẳng thức

Đề bài: Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6abc. chứng minh 

1a2+1b2+1c2≥3

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gỉa thiết đã cho tương đương :

1a+1b+1c+1ab+1bc+1ca=6

Ta có 1ab+1bc+1ca≤1a2+1b2+1c2

1a+1b+1c≤3(1a2+1b2+1c2)−−−−−−−−−−−−−−√

Cộng từng vế hai BĐT trên, đặt 1a2+1b2+1c2=t>0

t+3t−−√≥6⇔t√≥3√⇒t≥3⇒1a2+1b2+1c2≥3

Cách 2: Đặt: $x= \frac{1}{a}, y= \frac{1}{b}, z= \frac{1}{c} $ ta được:

x+y+z+xy+yz+zx=6

Ta cần chứng minh: x2+y2+z2≥3

Từ (x−1)2+(y−1)2+(z−1)2≥0

suy ra x2+y2+z2≥2(x+y+z)−3 (1)

Ta có: 2(x2+y2+z2≥2(xy+yz+zx) (2)

cộng (1) và (2) ta được đpcm

Cách 3:  Từ điều kiện chia 2 về cho 

abc>0

1a+1b+1c+1ab+1bc+1ac=6⇔2a+2b+2c+2ab+2bc+2ac=12⇔2ab+2bc+2ac=12−2a+2b+2c

Cộng vào hai vế với 1a2+1b2+1c2, ta có:

(1a+1b+1c)2=9+(1a−1)2+(1b−1)2+(1c−1)2⇒(1a+1b+1c)2≥9

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

(12+12+12)(1a2+1b2+1c2)≥(1a+1b+1c)2≥9

⇔1a2+1b2+1c2≥3

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.

Cách 4: Từ giả thiết đã cho ta có:

1ab+1bc+1ca+1a+1b+1c=6 

Theo bất đẳng thức cauchy ta có:

12(1a2+1b2)≥1ab,12(1b2+1c2)≥1bc,12(1c2+1a2)≥1ca

12(1a2+1)≥1a,12(1b2+1)≥1b,12(1c2+1)≥1c

Cộng vế theo vế ta có:

32(1a2+1b2+1c2)+32≥6⇔32(1a2+1b2+1c2)≥6−32=92⇔(1a2+1b2+1c2)≥3 (đpcm)